Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且tanα=有以下的結(jié)論：① △ADE∽△ACD；② 當(dāng)CD=9時(shí)，△ACD與△DBE全等；③ △BDE為直角三角形時(shí)，BD為12或；④ 0＜BE≤，其中正確的結(jié)論是___________（填入正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

試題解析：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，

∴△ADE∽△ABD；

故①錯(cuò)誤；

②作AG⊥BC于G，

∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，

∴，

∴，

∴cosα=，

∵AB=AC=15，

∴BG=12，

∴BC=24，

∵CD=9，

∴BD=15，

∴AC=BD．

∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，

∴∠EDB=∠DAC，

在△ACD與△DBE中，

，

∴△ACD≌△BDE（ASA）．

故②正確；

③當(dāng)∠BED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ABD，

∴∠ADB=∠AED，

∵∠BED=90°，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，

∴

∴BD=12．

當(dāng)∠BDE=90°時(shí)，易證△BDE∽△CAD，

∵∠BDE=90°，

∴∠CAD=90°，

∵∠C=α且cosα=，AC=15，

∴cosC=，

∴CD=．

∵BC=24，

∴BD=24-=

即當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD=12或．

故③正確；

④易證得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，

設(shè)CD=y，BE=x，

∴，

∴，

整理得：y2-24y+144=144-15x，

即（y-12）2=144-15x，

∴0＜x≤，

∴0＜BE≤．

故④錯(cuò)誤．

故正確的結(jié)論為：②③．