【題目】如圖1,已知五邊形OABCD的頂點O在坐標原點,點Ay軸上,點Dx軸上,AB∥x軸,CD∥y軸,動點P從點O出發(fā),以每秒1單位的速度,沿五邊形OABCD的邊順時針運動一周,順次連結P,O,A三點所圍成圖形的面積為S,點P的運動時間為t秒,St之間的函數(shù)關系如圖2中折線OEFGHI所示.

(1)求證:AB=2;

(2)求五邊形OABCD的面積.

(3)求直線BC的函數(shù)表達式;

(4)若直線OP把五邊形OABCD的面積分成1:3兩部分,求點P的坐標.

【答案】(1)詳見解析;(2)24;(3)y=﹣x+;(4)P()或().

【解析】

(1)先判斷出OA=6,再利用三角形ABO的面積即可求出AB;

(2)先判斷出BC,CD,進而求出B'D,再用面積的和即可得出結論;

(3)先確定出點B,C坐標,利用待定系數(shù)法即可得出結論;

(4)先判斷出點P必在線段BC上,進而求出求出三角形ABM的面積,再分兩種情況利用面積建立方程求解即可得出結論.

(1)連接OB,由圖1,圖2知,OA=6,

當點P運動到點B時,SAOP=SAOB=×6×AB=6,

∴AB=2,

(2)由(1)知AB=2,

∴OA+AB=6+2=8,

2中的a8秒,

由圖1,圖2知,當點PB運動到點C時,用了13﹣8=5秒鐘,

∴BC=5,

P從點C運動到點D時,△AOP的面積不變,用了15﹣13=2秒,

∴CD=2,

過點BBB'⊥ODB',

四邊形OABB'是矩形,BB'=OA=6,OB'=AB=2,

過點CCC'⊥BB'B',

四邊形CC'B'D是矩形,B'C'=CD=2,DB'=CC'

∴BC'=BB'﹣B'C'=4

Rt△BC'C中,根據(jù)勾股定理得,CC'==3,

∴DB'=3,

∴OD=OB'+DB'=2+2=5,

∴S五邊形OABCD的面積=S矩形AOBB'+S梯形CDB'B=2×6+(2+6)×3=24;

(3)由(2)知,BB'=6,OB'=2,

∴B(2,6),

由(2)知,CD=2,OD=5,

∴C(5,2),

設直線BC的解析式為y=kx+b',

,

,

直線BC的解析式為y=﹣x+;

(4)如圖3,

連接OB,OC,由圖2知,SAOB=6,

由(2)知,CD=2,OD=5,

∴SCOD=5,

延長CBy軸于M,

∴M(0,),

∴AM=,

∴SAMB=AM×AB=

由(2)知,S五邊形OABCD的面積=24,

P必在線段BC上,

P(m,﹣ m+)(0<m<5),

直線OP把五邊形OABCD的面積分成1:3兩部分,

∴S四邊形OABP=S五邊形OABCD的面積=8S四邊形OABP=S五邊形OABCD的面積=16,

S四邊形OABP=8時,∴SOPM=S四邊形OABP+SAMB==××m,

∴m=,

∴P(,

S四邊形OABP'=16時,SOP'M=S四邊形OABP'+SAMB==××m,

∴m=,

∴P'(,),

即:滿足題意的點P(,)或(,).

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因此,4,12,20這三個數(shù)都是神秘數(shù).

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