Question

21、如圖，?ABCD中，E為BC中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于F點(diǎn)，連接BF．
（1）求證：AB=CF；
（2）試猜想當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是菱形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到AB∥CD，從而可得到AB∥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組角相等，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，從而可根據(jù)AAS來判定△BAE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得AB=CF．
（2）由第（1）知AB=CF，已知AB∥DF，從而根據(jù)有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABFC是平行四邊形，再根據(jù)有一給鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而不難推出AB與AC的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵點(diǎn)F為DC的延長線上的一點(diǎn)，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF；

解：（2）∵AB=CF，AB∥DF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
∴當(dāng)AB=AC時，四邊形ABFC是菱形．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力．