Question

（2012•石景山區(qū)二模）已知：如圖，M是⊙O的直徑AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作AB的垂線MP，D是MP的延長線上一點(diǎn)，連接AD交⊙O于點(diǎn)C，且PD=PC．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若tanD=

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，OA=3，過點(diǎn)A作PC的平行線AN交⊙O于點(diǎn)N．求弦AN的長．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出CO=AO，則∠A=∠OCA，由PD=PC得出∠D=∠PCD，即可得出∠OCA+∠PCD=90°進(jìn)而得出答案即可；
（2）首先利用∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，得出tan∠QAC=tanD=

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，進(jìn)而利用勾股定理得出AN的長即可．

解答：（1）直線PC與⊙O相切，
證明：如圖1，連接CO，
∵DM⊥AB
∴∠D+∠A=90°
∵PD=PC
∴∠D=∠PCD
∵OC=OA
∴∠A=∠OCA
∴∠OCA+∠PCD=90°
∴PC⊥OC
∴直線PC是⊙O的切線；
               
（2）解：如圖2，過點(diǎn)A作PC的平行線AN交⊙O于點(diǎn)N，交CO于點(diǎn)Q．
故∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，垂足是Q，
在Rt△CQA中，
則tan∠QAC=tanD=

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，
設(shè)CQ=x，AQ=

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x，
故OQ=3-x，
∵OA²=OQ²+AQ²，
∴32=(

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x)2+(3-x)2，
解得x=2，
∴AQ=2

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，
∴AN=2AQ=4

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．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出tan∠QAC=tanD=

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是解題關(guān)鍵．