【題目】如圖,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M為AB中點(diǎn),D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接ED、ME,則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中ME的最小值為_____.
【答案】2.
【解析】
連接BE,過點(diǎn)M作MG⊥BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AK⊥AB交BD的延長(zhǎng)
線于點(diǎn)K,可得△AKB是等腰直角三角形.根據(jù)線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,可得△ADE是等腰直角三角形,從而證明△ADK≌△AEB,得∠ABE=∠K=45°,可得△BMG是等腰直角三角形,可求得MG的長(zhǎng),當(dāng)ME=MG時(shí),ME的值最小,進(jìn)而可得ME的最小值.
如圖,
連接BE,過點(diǎn)M作MG⊥BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
過點(diǎn)A作AK⊥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,
∵等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠B=45°,
∴∠K=45°,
∴△AKB是等腰直角三角形.
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴∠KAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB=90°,
∴∠KAD=∠BAE,
在△ADK和△AEB中,
∴△ADK≌△AEB(SAS),
∴∠ABE=∠K=45°,
∴△BMG是等腰直角三角形,
∵AC=BC=4,
∴AB=,
∵M為AB中點(diǎn),
∴BM=,
∴MG=BG=2,∠G=90°,
∴BM>MG,
∴當(dāng)ME=MG時(shí),ME的值最小,
∴ME=BE=2.
故答案為2.
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【題目】如圖,陽(yáng)光通過窗口照到教室內(nèi),豎直窗框在地面上留下2.1 m長(zhǎng)的影子如圖所示,已知窗框的影子DE的點(diǎn)E到窗下墻腳的距離CE=3.9 m,窗口底邊離地面的距離BC=1.2 m,試求窗口的高度(即AB的值).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H,已知sin∠CDB=,BD=5,則AH的長(zhǎng)為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如果點(diǎn)P(2x+6,x-4)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),那么x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為
A. B. C. D.
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【題目】(滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)
分別為A(-3,0)、B(1,0),過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.
(1)直接填寫:= ,b= ,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)在軸上是否存在點(diǎn)D,使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合),PQ⊥AC于點(diǎn)Q,當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點(diǎn)G,AF⊥DE于點(diǎn)F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點(diǎn)H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正確的是( 。
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,將△ABC沿直線BC向右平移,使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,得到△ECD,連接BE,交AC于F.
(1)猜想AC與BE的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)求線段BE的長(zhǎng).
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【題目】如圖1,在圓O中,直徑CD⊥弦AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接PB、BD.
(1)若BD平分∠ABP,求證:PB是圓O的切線;
(2)若PB是圓O的切線,AB=4,OP=4,求OE的長(zhǎng);
(3)如圖2,連接AP,延長(zhǎng)BD交AP于點(diǎn)F,若BD⊥AP,AB=2,OP=4,求tan∠BDE的值.
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