Question

（2010•十堰）如圖，已知⊙O₁與⊙O₂都過(guò)點(diǎn)A，AO₁是⊙O₂的切線，⊙O₁交O₁O₂于點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)交⊙O₂于點(diǎn)C，連接O₂C．
（1）求證：O₂C⊥O₁O₂；
（2）證明：AB•BC=2O₂B•BO₁；
（3）如果AB•BC=12，O₂C=4，求AO₁的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）⊙O₁與⊙O₂都過(guò)點(diǎn)A，AO₁是⊙O₂的切線，可證O₁A⊥AO₂，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B可證O₂C⊥O₂B，故可證．
（2）延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)D連接AD，可證∠BAD=∠BO₂C，又因?yàn)椤螦BD=∠O₂BC，三角形相似，進(jìn)而證明出結(jié)論．
（3）由（2）證可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，三角形相似，列出比例式，進(jìn)而求出AO₁的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵O₁A為⊙O₂的切線，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；

（2）證明：延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)D，連接AD．
∵BD是⊙O₁直徑，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，
又∵∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O₂B•BD，
又∵BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．

（3）解：由（2）證可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，
又∵∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
，
∴（AO₂）²=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴（O₂C）²=O₂B•O₂D①，
又由（2）AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即4²-12=O₂B²，
∴O₂B=2，
又∵O₂B•BD=AB•BC=12，
∴BD=6，
∴2AO₁=BD=6，
∴AO₁=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，此題比較繁瑣，做題時(shí)應(yīng)該細(xì)心．