【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸;

(2)連接BC,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PFDE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長,并求出當(dāng)m為何值時,四邊形PEDF為平行四邊形?

②設(shè)BCF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3).拋物線的對稱軸是:直線x=1.

(2)①當(dāng)m=2時,四邊形PEDF為平行四邊形.②S=m2+m(0≤m≤3).

【解析】

試題分析:(1)已知了拋物線的解析式,當(dāng)y=0時可求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)x=0時,可求出C點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)對稱軸x=﹣可得出對稱軸的解析式.

(2)PF的長就是當(dāng)x=m時,拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差.可先根據(jù)B,C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式,然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中,求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長.

根據(jù)直線BC的解析式,可得出E點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式,可求出DE的長,然后讓PF=DE,即可求出此時m的值.

(3)可將三角形BCF分成兩部分來求:

一部分是三角形PFC,以PF為底邊,以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積.

一部分是三角形PFB,以PF為底邊,以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值為高,即可求出三角形PFB的面積.

然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積,可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式.

解:(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3).

拋物線的對稱軸是:直線x=1.

(2)①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+b.

把B(3,0),C(0,3)分別代入得:

解得:

所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x+3.

當(dāng)x=1時,y=﹣1+3=2,

E(1,2).

當(dāng)x=m時,y=﹣m+3,

P(m,﹣m+3).

在y=﹣x2+2x+3中,當(dāng)x=1時,y=4.

D(1,4)

當(dāng)x=m時,y=﹣m2+2m+3,

F(m,﹣m2+2m+3)

線段DE=4﹣2=2,

線段PF=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m

PFDE,

當(dāng)PF=ED時,四邊形PEDF為平行四邊形.

由﹣m2+3m=2,

解得:m1=2,m2=1(不合題意,舍去).

因此,當(dāng)m=2時,四邊形PEDF為平行四邊形.

②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M,由B(3,0),O(0,0),

可得:OB=OM+MB=3.

S=SBPF+SCPF

即S=PFBM+PFOM=PF(BM+OM)=PFOB.

S=×3(﹣m2+3m)=﹣m2+m(0≤m≤3).

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