Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點(diǎn)C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n＝-16，過C點(diǎn)作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點(diǎn).

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)（3分）；

（2）若OF+BE＝AB，求證：CF＝CE（4分）

（3）如圖（2），若∠ECF＝45°，給出兩個(gè)結(jié)論：OF+AE-EF的值不變；‚OF+AE+EF的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論正確，請你判斷出正確的結(jié)論，并加以證明和求出其值（5分）.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）（4，4）；（2）證明見解析；（3）OF+AE-EF值不變，且OF+AE-EF=0.

【解析】

試題分析：（1）可將（m-4）²+n²-8n＝-16，通過移項(xiàng)、因式分解變形為：（m-4）²+（n-4）²=0.結(jié)合圖象可知m、n都大于0，由此可得m=n=4.

（2）因?yàn)镺F+BE＝AB，所以O(shè)F＝AE，由（1）易得四邊形COAB是正方形；所以由SAS得△ACE≌△OCF，從而可證CF＝CE.

（3）因?yàn)锳C=OC，可想到繞點(diǎn)C將△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90^0,到△OCH位置，如圖，可證△HCF≌△ECF得HF=EF，而HF=AE+OF，所以O(shè)F+AE-EF=0.

試題解析：

解：（1）∵（m-4）²+n²-8n＝-16，

∴（m-4）²+（n-4）²=0.

∴m＝4，n＝4.

證明：∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，A（4，4），

∴AB＝AC＝OC＝OB，

∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，

∴四邊形COAB是正方形

∴∠A＝90°

∵OF+BE＝AB＝BE+AE

∴AE＝OF，

∴△COF≌△CAE

∴CF＝CE.

（3）OF+AE-EF值不變，且OF+AE-EF=0.如圖，

證明：在x軸負(fù)半軸上取點(diǎn)H，使OH＝AE，

∵CO=CA  ∠COH=∠CAE

∴△ACE≌△OCH

∴∠1＝∠2

CH＝CE，AE=OH

又∵∠EOF＝45°

∴∠HCF＝45°

∴△HCF≌△ECF

∴HF＝EF

∴OF+AE=OF+OH=HF=EF

即OF+AE-EF=0.

考點(diǎn)：1、正方形性質(zhì).2、三角形全等的判定.