Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交與點O，AD與BC交與點P，BE與CD交與點Q，連接PQ．有下列結(jié)論：①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP，其中正確的結(jié)論有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判斷①；根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出∠CBE=∠CAD，根據(jù)ASA證△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判斷②；求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判斷③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判斷④．
解答：∵△ABC和△DCE是正三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∴①正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，∴②正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，
∴∠CAD+∠BEC=60°，
∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正確；
∵△DCE是正三角形，
∴DE=DC，
∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB，
∴∠DPC＞∠DCP，
∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④錯誤；
故選A．
點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．