閱讀材料
如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,ACB=∠EDF=90°,且點(diǎn)D在AB邊上,AB、EF的中點(diǎn)均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.解決問題:
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時(shí)線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點(diǎn)均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點(diǎn)均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出的值(用含α的式子表示出來)
(1)BF=CD.證明詳見解析;(2)不成立,;(3).
【解析】
試題分析:本題是幾何綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是:第一,善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系,即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD;第二,熟練運(yùn)用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì).本題(1)(2)(3)問的解題思路一脈相承,由特殊到一般,有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究.(1)如答圖②所示,連接OC、OD,證明△BOF≌△COD,即可得到BF=CD;
(2)如答圖③所示,連接OC、OD,可證明△BOF∽△COD,進(jìn)而求出相似比為 ;(3)如答圖④所示,連接OC、OD,證明△BOF∽△COD,進(jìn)而可求相似比為.
試題解析:
解:(1)猜想:BF=CD.理由如下:如答圖②所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn),
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF與△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的結(jié)論不成立.
如答圖③所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等邊三角形,點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn),
∴ ,∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形,點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn),
∴,∠DOF=90°.
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴ .
(3)如答圖④所示,連接OC、OD.
∵△ABC為等邊三角形,點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn),
∴ ,∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形,點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn),
∴,∠DOF=90°.
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴ .
考點(diǎn):幾何圖形變換綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年蘇教版初中數(shù)學(xué)七年級下 11.2全等三角形練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
閱讀下列材料:
如圖(1)所示,把△ABC沿直線BC移動線段BC那樣長的距離可以變到△ECD的位置;
如圖(2)所示,以BC為軸把△ABC翻折180°,可以變到△DBC的位置;
如圖(3)所示,以點(diǎn)A為中心,把△ABC旋轉(zhuǎn)180°,可以變到△AED的位置.
像這樣,只改變圖形的位置,而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換. 在全等變換中可以清楚地識別全等三角形的對應(yīng)元素,以上的三種全等變換分別叫平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換.
問題:如圖(4),△ABC≌△DEF,B和E、C和F是對應(yīng)頂點(diǎn),問通過怎樣的全等變換可以使它們重合,并指出它們相等的邊和角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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