Question

（2011•蘭州）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B和D．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同
時點Q由點B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)S=PQ²（cm²）
①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)S取時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假設(shè)存在點R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標(biāo)，再分為兩種種情況：A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R的坐標(biāo)．
（3）A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
∵正方形的邊長2，
∴B的坐標(biāo)（2，-2）A點的坐標(biāo)是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-）代入得：，
解得a=，b=-，c=-2，
∴拋物線的解析式為：，
答：拋物線的解析式為：．

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
答：S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t²-8t+4，t的取值范圍是0≤t≤1．
②解：假設(shè)存在點R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形．
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴當(dāng)S=時，5t²-8t+4=，得20t²-32t+11=0，
解得t=，t=（不合題意，舍去），
此時點P的坐標(biāo)為（1，-2），Q點的坐標(biāo)為（2，-），
若R點存在，分情況討論：
（i）假設(shè)R在BQ的右邊，如圖所示，這時QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為-，
即R（3，-），
代入，左右兩邊相等，
∴這時存在R（3，-）滿足題意；

（ii）假設(shè)R在QB的左邊時，這時PR=QB，PR∥QB，
則R（1，-）代入，，
左右不相等，∴R不在拋物線上．（1分）
綜上所述，存點一點R（3，-）滿足題意．
則存在，R點的坐標(biāo)是（3，-）；

（3）如圖，M′B=M′A，
∵A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，
理由是：∵M(jìn)A=MB，若M不為L與DB的交點，則三點B、M、D構(gòu)成三角形，
∴|MB|-|MD|＜|DB|，
即交點時差為|DB|為最大，
設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐標(biāo)代入得：，
解得：k=，b=-，
∴y=x-，
拋物線的對稱軸是x=1，
把x=1代入得：y=-
∴M的坐標(biāo)為（1，-）；
答：M的坐標(biāo)為（1，-）．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點，解此題的關(guān)鍵是綜合運用這些知識進(jìn)行計算．此題綜合性強，是一道難度較大的題目．