Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與B，C兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3）

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；

（2）設(shè)△BCF的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m=2（2）

【解析】試題分析：（1）PF的長就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長． 根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．

（2）可將△BCF分成兩部分來求：一部分是△PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出△PFC的面積． 一部分是△PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求出△PFB的面積． 然后根據(jù)△BCF的面積=△PFC的面積+△PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式．

解：（1）對于拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)D（1，4）

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；

設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4﹣2=2，

∵PF⊥x軸，

∴P（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，﹣m2+2m+3），

∴線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），

當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；

（2）∵B（3，0），

∴OB=3，

∴S=PFOB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），

則當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值為．