Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，對(duì)稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．

①當(dāng)線段PQ 時(shí)，求tan∠CED的值；

②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．（3）①②， ．

【解析】試題分析：（1）利用拋物線的對(duì)稱軸方程可計(jì)算出b=-2，再把C（0，-3）代入拋物線解析式可得到c=-3，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3；

（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到A（-1，0），B（3，0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式；

（3）①由AB=4得PQ=AB=3，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則P（-，- ），所以F（0，-），則FC=3-OF= ，由于PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，則CE=2FC=，易得D（1，-2），過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，如圖1，則DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG= ，然后在Rt△EGD中，利用正切的定義求解；

②設(shè)E（0，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到DE2=12+（t+2）2，CD2=12+（-2+3）2=2，EC2=（t+3）2，然后分類討論：當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，DE2+CD2=EC2，即12+（t+2）2+2=（t+3）2；當(dāng)∠CED=90°時(shí)，DE2+CE2=CD2，即12+（t+2）2+（t+3）2=2；當(dāng)∠ECD=90°時(shí)，CD2+CE2=DE2，即2+（t+3）2=12+（t+2）2，再分別解方程求出t確定E點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：

（1）依題意得 ， 解得 ，

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）令=0，得，

所以A(-1，0)，B(3，0)．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，

代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，-3)，得

解得．

所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．

（3）①如圖2所示，因?yàn)?/span>AB＝4，所以PQ．因?yàn)?/span>P、Q關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為． 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．

所以 ， ．

所以 ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

直線BC: 與拋物線的對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，－2）．

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H． 在Rt△EDH中，DH＝1， ，

所以tan∠CED．

②由圖3、圖4得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， ．

圖2 圖3 圖4

點(diǎn)睛:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和等腰直角三角形的性質(zhì),在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.