【題目】四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)P為對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn).

(1)如圖1,連接AP并延長交BC的延長線于點(diǎn)E,連接 PC,求證:∠AEB=∠PCD.
(2)如圖1,當(dāng)PA=PD且PC⊥BE時(shí),求∠ABC的度數(shù).
(3)連接AP并延長交射線BC于點(diǎn)E,連接 PC,若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形,求∠PEC的度數(shù).

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠PDA=∠PDC,AD=CD AD∥BC,

在△PAD與△PCD中,

,

∴△PAD≌△PCD(SAS),

∴∠PAD=∠PCD,

又∵AD∥BC,

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD


(2)

解:如圖1,

(方法一)∵PA=PD,

∴∠PAD=∠PDA,

設(shè)∠PAD=∠PDA=x,則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x

∵PC⊥BE

∴2x+x=90°,

∴x=30°,

∴∠ABC=2x=60°;

(方法二):延長CP交AD于M,

∵AD∥BC,PC⊥BC,

∴CM⊥AD

∵PA=PD,

∴△PAM≌△PDM (HL),

∴AM=DM,

∴CM垂直平分AD

連接AC,則AC=CD=BC=AB,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°


(3)

解:①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí),如圖2,

△PCE是等腰三角形,則CP=CE,

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°,

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=∠PBC=45°,

在△ABP與△CBP中,

∴△ABP≌△CBP(SAS),

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP

∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°,

∴∠PEC=30°;

②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),如圖3,

△PCE是等腰三角形,則PE=CE,

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP,

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=∠PBC=45°,又AB=BC,BP=BP,

∴△ABP≌△CBP,

∴∠BAP=∠BCP,

∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°

∴∠BCP=30°,

∴∠AEB=60°,

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°,

綜上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.


【解析】(1)利用菱形的性質(zhì),易得∠PDA=∠PDC,AD=CD,利用SAS定理證得△PAD≌△PCD,由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結(jié)論;(2)方法一,首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=∠PDA,設(shè)∠PAD=∠PDA=x,利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x,因?yàn)镻C⊥BE,得x,得∠ABC的度數(shù);方法二,利用平行線的性質(zhì)易得CM⊥AD,由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM,得AM=DM,由垂直平分線的性質(zhì)得AC=CD=BC=AB,得△ABC是等邊三角形,得∠ABC的度數(shù);(3)分類討論:①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí),首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE,易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP,由正方形的性質(zhì)得∠PBA=∠PBC=45°,由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP,易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP,因?yàn)椤螧AP+∠PEC=90°,求得∠PEC的度數(shù);②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),同理得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.

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(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;

(3)點(diǎn)E為y軸上一動點(diǎn),CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在第三象限.

①當(dāng)線段PQ 時(shí),求tan∠CED的值;

②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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