【題目】四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)P為對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn).
(1)如圖1,連接AP并延長交BC的延長線于點(diǎn)E,連接 PC,求證:∠AEB=∠PCD.
(2)如圖1,當(dāng)PA=PD且PC⊥BE時(shí),求∠ABC的度數(shù).
(3)連接AP并延長交射線BC于點(diǎn)E,連接 PC,若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形,求∠PEC的度數(shù).
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠PDA=∠PDC,AD=CD AD∥BC,
在△PAD與△PCD中,
,
∴△PAD≌△PCD(SAS),
∴∠PAD=∠PCD,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD
(2)
解:如圖1,
(方法一)∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA,
設(shè)∠PAD=∠PDA=x,則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE
∴2x+x=90°,
∴x=30°,
∴∠ABC=2x=60°;
(方法二):延長CP交AD于M,
∵AD∥BC,PC⊥BC,
∴CM⊥AD
∵PA=PD,
∴△PAM≌△PDM (HL),
∴AM=DM,
∴CM垂直平分AD
連接AC,則AC=CD=BC=AB,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°
(3)
解:①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí),如圖2,
△PCE是等腰三角形,則CP=CE,
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,
在△ABP與△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP
∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°,
∴∠PEC=30°;
②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),如圖3,
△PCE是等腰三角形,則PE=CE,
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,又AB=BC,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°,
∴∠AEB=60°,
∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°,
綜上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.
【解析】(1)利用菱形的性質(zhì),易得∠PDA=∠PDC,AD=CD,利用SAS定理證得△PAD≌△PCD,由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結(jié)論;(2)方法一,首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=∠PDA,設(shè)∠PAD=∠PDA=x,利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x,因?yàn)镻C⊥BE,得x,得∠ABC的度數(shù);方法二,利用平行線的性質(zhì)易得CM⊥AD,由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM,得AM=DM,由垂直平分線的性質(zhì)得AC=CD=BC=AB,得△ABC是等邊三角形,得∠ABC的度數(shù);(3)分類討論:①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí),首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE,易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP,由正方形的性質(zhì)得∠PBA=∠PBC=45°,由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP,易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP,因?yàn)椤螧AP+∠PEC=90°,求得∠PEC的度數(shù);②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),同理得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.
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【題目】如圖,在 中, 與 的角平分線交于 點(diǎn).
(1)若 ,則 ;
(2)若 ,則 ;
(3)若 , 與 的角平分線交于 點(diǎn), 的平分線與 的平分線交于點(diǎn) , , 的平分線與 的平分線交于點(diǎn) ,則 .
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【題目】一次數(shù)學(xué)課上,老師要求學(xué)生根據(jù)圖示張鑫與李亮的對話內(nèi)容,展開如下活動:
活動1:仔細(xì)閱讀對話內(nèi)容
活動2:根據(jù)對話內(nèi)容,提出一些數(shù)學(xué)問題,并解答.
下面是學(xué)生提出的兩個(gè)問題,請你列方程解答.
(1)如果張鑫沒有辦卡,她需要付多少錢?
(2)你認(rèn)為買多少元錢的書辦卡就便宜?
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【題目】二次函數(shù)y=2(x﹣3)2+5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 。
A.(3,5)B.(3,﹣5)C.(﹣3,5)D.(﹣3,﹣5)
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【題目】王志和孫尚到圖書城去買書,兩人在書城購買書共花費(fèi)了206元,共購買了16本書,其中王志平均每本書的價(jià)格為12元,孫尚平均每本書的價(jià)格為14元.
(1)王志和孫尚各購買書多少本?
(2)如果在書城辦會卡買書可以享受7折優(yōu)惠,那么兩人合辦一張會員卡(會員卡8元),請問此次購書兩人共可以節(jié)省多少錢?
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【題目】如圖所示,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)點(diǎn)E為y軸上一動點(diǎn),CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在第三象限.
①當(dāng)線段PQ 時(shí),求tan∠CED的值;
②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(參考公式:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是)
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