Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 45⁰，AD = 2，BC = 6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上.

（1）       求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）       求△ADC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)，并求⊙M的半徑；

（3）       E為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F為y軸上一點(diǎn)，求當(dāng)ED＋EC＋FD＋FC最小時(shí)，EF的長；

（4）           設(shè)Q為射線CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由.

Answer 1

 解：（1）由題意知C（3, 0）、A（0, 3）。

過D作x軸垂線，由矩形性質(zhì)得D（2, 3）。

由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（－1，0）.

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x＋1）（x－3）.

將（0， 3）代入得a = －1，所以y=－x²＋2x＋3.

（2）由外接圓知識(shí)知M為對(duì)稱軸與AC中垂線的交點(diǎn).由等

腰直角三角形性質(zhì)得OM平分∠AOC,即y_OM = x，

∴ M（1,1）.連MC得MC = ，即半徑為。

（3）由對(duì)稱性可知：當(dāng)ED＋EC＋FD＋FC最小時(shí)，E為對(duì)稱軸與AC交點(diǎn)，

F為BD與y軸交點(diǎn)，易求F（0,）、E（1,2）   ∴EF = .

（4）可得△ADC中，AD = 2，AC = ，DC = .

假設(shè)存在，顯然∠QCP<90⁰，∴∠QCP = 45⁰或∠QCP = ∠ACD .

當(dāng)∠QCP = 45⁰時(shí)，這時(shí)直線CP的解析式為y = x－3 或y = －x＋3.

當(dāng)直線CP的解析式為y = x－3時(shí)，可求得P（－2，－5）,

這時(shí)PC = 5.

設(shè)CQ = x，則，∴ x = 或x = 15.

∴Q （－,0）或（－12,0）.

當(dāng)y = －x＋3即P與A重合時(shí)，可求得CQ = 2或9，∴ Q （1,0）或（－6,0）.

當(dāng)∠QCP = ∠ACD時(shí)，設(shè)CP交y軸于H，連ED知ED⊥AC，

∴ DE = ，EC = 2，易證：△CDE∽△CHQ，

所以HQ/ = 3/ 2，∴ HQ = 3/2 .可求 HC的解析式為y = 1/2 x－3/2.

聯(lián)解，得P（－3/2，－9/4），PC = 。

設(shè)CQ = x，知，

∴ x = 15/4或x = 27/4 ，∴ Q（－3/4,0）或（－15/4,0）.

同理當(dāng)H在y軸正半軸上時(shí)，HC的解析式為y = -1/2 x+3/2.

∴ P’（－1/2,7/4），∴PC = 。

∴ ，

∴ CQ = 35/12或21/4， 所以Q（1/12,0）或（－9/4,0）.

綜上所述，P₁（－2，－5）、Q₁（－1/3,0）或（－12,0）；

      P₂（0,3）、    Q₂（1，0）   或（－6,0）；

          P₃（－3/2，－9/4）、Q₃（－3/4，0）或（－15/4,0）；

          P₄（－1/2,7/4）、Q₄（1/12,0）或（－9/4,0）.