Question

在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=x²+

2

3

cx+c與x軸的負半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B，與y軸交于點C，直線BC的解析式為：y=x+c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線y=x²+

2

3

cx+c位于第四象限的部分上，連接PC，若PC⊥BC，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點C作y軸的垂線，交拋物線y=x²+

2

3

cx+c于另一點E，動點Q在拋物線y=x²+

2

3

cx+c上，且點Q在B、E兩點之間（點Q不與B、E重合），過點Q作QH⊥x軸于點H，直線QH與直線CE交于點R，連接PQ、PR，PQ交CR于點N，求證：PR²=PN•PQ．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先表示出點C的坐標，然后代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）過點P做PD⊥y軸于點D，根據(jù)B（3，0），C（0，-3）的坐標得到△OBC和△PCD均為等腰直角三角形，設PD=CD=a，根據(jù)點P在拋物線y=x²-2x-3上得到OD=點P的縱坐標的絕對值=-（a²-2a-3），從而得到3+a=-（a²-2a-3），求得a的值后即可求得點P的坐標；
（3）過點P作PK⊥QH交HQ的延長線于點K，設點Q的橫坐標為m，則點Q的縱坐標為m²-2m-3，從而表示出QH=-（m²-2m-3）、PK=m-1，QK=KH-QH=4+m²-2m-3=m²-2m+1，然后利用tan∠PRK=tan∠PQK得到∠PRK=∠PQK，從而得到

KP

KQ

=

KR

KP

，證得△KPR∽△KQP，得到∠KPR=∠KQP，從而證得△PRN∽△PQR，然后利用相似三角形對應邊成比例列出比例式，從而得到等積式．

解答：解：（1）∵對于y=x+c，當y=0時，x=-c，
∴B（-c，0），
代入y=x²+

2

3

cx+c，解答：c=0，或c=-3，
∴

2

3

c=

2

3

×（-3）=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）如圖，過點P做PD⊥y軸于點D，
由（1）知B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∵PC⊥BC，
∴∠PCD=∠CBO=45°
∴△PCD為等腰直角三角形，
設PD=CD=a，
∵點P在拋物線y=x²-2x-3上，
∴OD=點P的縱坐標的絕對值=-（a²-2a-3），
∴3+a=-（a²-2a-3），
解得：a=0（舍去）或a=1，
把a=1代入y=x²-2x-3中得y=4，
∴點P的坐標為（1，-4）；

（3）過點P作PK⊥QH交HQ的延長線于點K，如圖，
設點Q的橫坐標為m，則點Q的縱坐標為m²-2m-3，
∴QH=-（m²-2m-3），
∵P（1，4），
∴KH=4，
∴PK=m-1，QK=KH-QH=4+m²-2m-3=m²-2m+1，
∵四邊形CDKR為矩形，
∴RK=CD=1，
在Rt△PRK和Rt△PQK中，∠K=90°，
tan∠PRK=

RK

PK

=

1

m-1

，
tan∠PQK=

PK

QK

=

m-1

m2-2m+1

=

1

m-1

，
即tan∠PRK=tan∠PQK，
∴∠PRK=∠PQK，
∵KR=CD=4-3=1，
∴

m-1

(m-1)2

=

1

m-1

，
即

KP

KQ

=

KR

KP

，
∵∠K=∠K，
∴△KPR∽△KQP，
∴∠KPR=∠KQP，
∵PK∥CR，
∴∠RPK=∠PRN，
∠PRN=∠PQR，
而∠RPN=∠QPR，
∴△PRN∽PQR，
∴

PR

PQ

=

PN

PR

，
∴PR²=PN•PQ．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，還涉及到了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大．