Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為直線AC上一點(diǎn)，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定,勾股定理

專題：分類討論

分析：分三種情況討論，當(dāng)BA=BD時(shí)，可知AD=2AC=12；當(dāng)BA=AD時(shí)，兩種情況當(dāng)C、D在A點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，CD=AD+AC=16，利用勾股定理可求得BD，當(dāng)C、D在A點(diǎn)同側(cè)時(shí)，則CD=4，同理求得BD；當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)AD=BD=x，利用勾股定理可求得x；再計(jì)算其周長即可．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
當(dāng)BA=BD=10時(shí)，則可知AD=2AC=12，則△ABC的周長為10+10+12=32；
當(dāng)BA=AD=10時(shí)，
①若C、D在點(diǎn)A的兩側(cè)，則CD=CA+DA=6+10=16，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=

BC2+CD2

=

162+82

=8

5

，則△ABC的周長為：10+10+8

5

=20+8

5

，
②若C、D在點(diǎn)A的同側(cè)，則CD=AD-AC=10-6=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=

BC2+CD2

=

42+82

=4

5

，則△ABC的周長為：10+10+4

5

=20+4

5

，
當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)AD=BD=x，則CD=AD-AC=x-6，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD²=BC²+CD²，即x²=（x-6）²+8²，解得x=

25

3

，則△ABC的周長為：10+

25

3

+

25

3

=

80

3

，
綜上可知△ABC的周長為32或20+8

5

或20+4

5

或

80

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況確定出點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．