Question

如圖（1）所示，已知AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ABC沿AD對折，點C落到點E的位置，連接BE，如圖（2）
（1）若線段BC=12cm，求線段BE的長度．
（2）在（1）的條件下，若線段AD=8cm，求四邊形AEBD的面積．
（3）若折疊后得到的四邊形AEBD的是平行四邊形，試判斷△ADC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=45°，CD=DE，∠CDE=∠BDE=90°，
又∵D是BC的中點，
∴CD=BD=DE=6，
∴△BDE為等腰直角三角形，BE=；

（2）作EF⊥AD于點F，易得△DEF為等腰直角三角形，
∴EF=，AD=8，S_△ADE=8×÷2=cm²，
S_△BDE=6×6÷2=18cm²
∴S_{四邊形AEBD}=S_△BDE+S_△ADE=（18+）cm²；

（3）判定：△ADC為等腰直角三角形
∵折疊后得到的四邊形AEBD的是平行四邊形，
∴AE平行且等于BD，
又∵CD=BD，
∵AC=AE，
∴AC=CD，
∵∠ADC=45°
∴△ADC為等腰直角三角形．
分析：（1）由圖形對稱的性質(zhì)可判斷出△BDE為等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BE的長；
（2）作EF⊥AD于點F，易得△DEF為等腰直角三角形，再根據(jù)S_{四邊形AEBD}=S_△BDE+S_△ADE即可求解．
（3）根據(jù)折疊后得到的四邊形AEBD的是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)及圖形折疊的性質(zhì)即可判斷出△ADC為等腰直角三角形．
點評：本題考查的是圖形翻折變幻的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，有一定的綜合性，但難易適中．