Question

對于平面直角坐標(biāo)系O中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點(diǎn)A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

已知點(diǎn)D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0）

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，

①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是__________；

②過點(diǎn)F作直線交軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線上的點(diǎn)P（，）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個圓的半徑的取值范圍。

Answer 1

解析：【解析】(1) ①；

② 由題意可知，若點(diǎn)要剛好是圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

     需要點(diǎn)到圓的兩條切線和之間所夾

的角度為；

由圖可知，則，

連接，則；

∴若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；則需點(diǎn)到圓心的距離滿足；

由上述證明可知，考慮臨界位置的點(diǎn)，如圖2；

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；

過作軸的垂線，垂足為；

；

∴；

∴；

∴；

∴；

易得點(diǎn)與點(diǎn)重合，過作軸于點(diǎn)；

易得；

∴；

從而若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上；

∴；

(2) 若線段上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個圓的半徑最小，

  則這個圓的圓心應(yīng)在線段的中點(diǎn)；

考慮臨界情況，如圖3；

即恰好點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)時，則；

∴此時；

故若線段上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

這個圓的半徑的取值范圍為.

【點(diǎn)評】“新定義”問題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開

頭部分的解析，可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于倍半

徑的點(diǎn).

了解了這一點(diǎn)，在結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和圓的知識去解答就事半功倍了.