Question

（2012•銅仁地區(qū)）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，AB⊥CD，⊙O的切線(xiàn)BF與弦AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BCD=

4

5

，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切線(xiàn)，AB是⊙O的直徑，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；
（2）又由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，由圓周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半徑為5，cos∠BCD=

4

5

，即可求得線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵BF是⊙O的切線(xiàn)，AB是⊙O的直徑，
∴BF⊥AB，…3分
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF； …6分

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，…7分
∵⊙O的半徑5，
∴AB=10，…8分
∵∠BAD=∠BCD，…10分
∴cos∠BAD=cos∠BCD=

4

5

=

AD

AB

，
∴AD=cos∠BAD•AB=

4

5

×10=8，
∴AD=8．…12分

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．