Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

1.求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；v

2.在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；v

3.試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，若存在，求

出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn)

2.見解析。

3.見解析。

【解析】解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

， ， ……………………（2分）

點(diǎn)都在拋物線上，

   ……………………（4分）

拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn) …………（6分）

（2）存在， 。……………………（8分）

（3）存在……………………（9分）

理由：解法一：

延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．

                       

過點(diǎn)作于點(diǎn)．

點(diǎn)在拋物線上，

在中，，

，， 在中，，

，， ……………………（12分）

設(shè)直線的解析式為

   解得  ………………（13分）

   解得 

在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)． …14分

                                                  

解法二：

過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．

，

同方法一可求得．

在中，，，可求得，

為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，

垂直平分．

即點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．……………………（12分）

設(shè)直線的解析式為，由題意得

   解得      ……………………（13分）

   解得 

在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．