Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-4，0），B（0，2），C（6，0），直線AB與直線CD相交于點(diǎn)D，D點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相同．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與直線AB、CD交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，線段EF的長為y（y＞0），求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在直線CD上是否存在點(diǎn)Q，使得△BPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)條件可求得直線AB的解析式，可設(shè)D為（a，a），代入可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分0＜t＜4、4＜t≤6和t＞6三種情況分別討論，利用平行線分線段成比例用t表示出PE、PF，可得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分0＜t＜4和t＞4，兩種情況，過Q作x軸的垂線，證明三角形全等，用t表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線CD，可求得t的值，可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（-4，0）、B（0，2）兩點(diǎn)代入，
解得，k=

1

2

，b=2，
∴直線AB解析式為y=

1

2

x+2，
∵D點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相同，設(shè)D（a，a），
∴a=

1

2

a+2，
∴D（4，4）；
（2）設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，
把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得m=-2，n=12，
∴直線CD的解析式為y=-2x+12，
∴AB⊥CD，
當(dāng) 0≤t＜4時(shí)，如圖1，

設(shè)直線CD于y軸交于點(diǎn)G，則OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，
∴PC=6-t，AP=4+t，
∵PF∥OG，
∴

PE

OB

=

AP

AO

，

PF

OG

=

PC

OC

，
∴

PE

2

=

4+t

4

，

PF

12

=

6-t

6

，
∴PE=2+

t

2

，PF=12-2t，
∴y=PF-PE=-2t+12-(

1

2

t+2)=-

5

2

t+10，
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，如圖2，

同理可求得PE=2+

t

2

，PF=12-2t，
此時(shí)y=PE-PF=

1

2

t+2-(-2t+12)=

5

2

t-10，
當(dāng)t＞6時(shí)，如圖3，

同理可求得PE=2+

t

2

，PF=2t-12，
此時(shí)y=PE+PF=

5

2

t-10；
綜上可知y=

- 5 2 t+10(0＜t＜4) 5 2 t-10(t＞4)

，t的取值范圍為：0＜t＜4或t＞4；
（3）存在．
當(dāng)0＜t＜4時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖4，

∵∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OPB=∠QPM，
在△BOP和△PMQ中，

∠BOP=∠PMQ ∠OBP=∠QPM BP=PQ

，
∴△BOP≌△PMQ（AAS），
∴BO=PM=2，OP=QM=t，
∴Q（2+t，t），
又Q在直線CD上，
∴t=-2（t+2）+12，
∴t=

8

3

，
∴Q（

14

3

，

8

3

）；
當(dāng)t＞4時(shí)，過點(diǎn)Q作QN⊥X軸于點(diǎn)N，如圖5，

同理可證明△BOP≌△PNQ，
∴BO=PN=2，OP=QN=t，
∴Q（t-2，-t），
又∵Q在直線CD上，
∴-t=-2（t-2）+12，
∴t=16，
∴Q（14，-16），
綜上可知，存在符合條件的Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為（

14

3

，

8

3

）或（14，-16）．

點(diǎn)評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行線分線段成比例、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用．求得點(diǎn)的坐標(biāo)是利用待定系數(shù)法的關(guān)鍵，在（2）中利用t表示出相應(yīng)線段，化動為靜是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題難度較大，知識點(diǎn)較多，注意分類討論思想的應(yīng)用．