Question

【題目】已知，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點（A點在B點左邊），且AB=4．

（1）求k值；

（2）該拋物線與直線交于C、D兩點，求S△ACD；

（3）該拋物線上是否存在不同于A點的點P，使S△PCD=S△ACD？若存在，求出P點坐標．

（4）若該拋物線上有點P，使S△PCD=tS△ACD，拋物線上滿足條件的P點有2個，3個，4個時，分別直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=4（2） （3）存在符合條件的P點，且坐標為 P1（7，）、P2（，）、P3（，）；（4）當0＜t＜時，P點有四個；當t=時，P點有三個；當t＞時，P點有兩個

【解析】

（1）設(shè)A（x1，0）、B（x2，0），x1、x2＞0，根據(jù)題意可得AB=|x1﹣x2|==4，而x1+x2，x1x2可由k表達出來，根據(jù)等量關(guān)系即可求得k的值；

（2）先聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式求出C，D兩點的坐標，此時從圖可看出△ACD是一個不規(guī)則的三角形，所以可過A作直線AE∥y軸，交直線CD于E，那么線段AE為底，C，D的橫坐標差的絕對值為高即可得出△ACD的面積；

（3）設(shè)直線CD與y軸的交點為G，過點A作l1∥CD交y軸于H，取GH=GL，過L作l2∥CD交y軸于L，那么直線l1，l2到直線CD的距離等于點A到直線CD的距離，所以它們與拋物線的交點都是符合條件的P點；

（4）通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，在直線CD上方肯定有兩個P點，所以只考慮直線CD下方的P點數(shù)，這就要抓住P點有三個或CD下方有一個P點的情況：P為平行于CD的直線與拋物線的唯一交點；若上述情況（P點有三個）中，t=，那么：P點有兩個時，t＞；P點有四個時，0＜t＜.

（1）設(shè)A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，x1、x2＞0，

則：x1+x2=2k，x1x2=2（k+2）=2k+4,

∴AB=|x1﹣x2|==4，即：k2﹣2k﹣8=0，

解得：k1=﹣2，k2=4，

∵x1+x2＞0，即k＞0，

∴k=4；

（2）

由（1）知，拋物線的解析式：y=x2﹣4x+6，點A（2，0），B（6，0）；

聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式，有：

，

解得，，

即：C（1，），D（8，6），

如圖，過A作直線AE∥y軸，交直線CD于E，則E（2，3），AE=3，

S△ACD=AE×|xD﹣xC|=×3×7=；

（3）如右圖，設(shè)直線CD與y軸的交點為G，過點A作l1∥CD交y軸于H，取GH=GL，過L作l2∥CD交y軸于L；

設(shè)直線l1：y=x+b1，代入A（2，0），得：

×2+b1=0，b1=﹣1

即，直線l1：y=x﹣1，H（0，﹣1），GL=GH=3，L（0，5）；

同上，可求得，直線l2：y=x+5；

聯(lián)立直線l1與拋物線的解析式，得：

，

解得，，

即：P1（7，）；

聯(lián)立直線l2與拋物線的解析式，得：

，

解得，，

即：P2（，）、P3（，）；

綜上，存在符合條件的P點，且坐標為 P1（7，）、P2（，）、P3（，）；

（4）當滿足條件的P點有三個時，如右圖：

直線l3∥CD，且直線l3與拋物線只有唯一交點P；

設(shè)直線l3：y=x+b3，聯(lián)立拋物線的解析式有：

x+b3=x2﹣4x+6，即：x2﹣9x+12﹣2b3=0

△=81﹣4×（12﹣2b3）=0，解得：b3=﹣

即，直線l3：y=x﹣，P（，﹣）；

過點P作直線PF∥y軸，交直線CD于F，則F（，）、PF=，

S△PCD=PF×|yD﹣yC|=××7=，t===，

綜上上面的計算結(jié)果和圖形來看：

當0＜t＜時，P點有四個；

當t=時，P點有三個；

當t＞時，P點有兩個．