Question

已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。 小明的思路是：把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE′，連結(jié)E'D，使問(wèn)題得到解決。請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明。

Answer 1

解：（1） DE2=BD2+EC2  證明：根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE' ∴ △AEC≌△ABE'  ∴ BE'=EC，A E'=AE ∠C=∠AB E' , ∠EAC=∠E'AB 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC  ∴ ∠ABC=∠ACB=45° ∴ ∠ABC+∠AB E'=90° 即 ∠E'BD=90° ∴ E'B2+BD2= E'D2 又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD+∠EAC=45° ∴ ∠E'AB+∠BAD=45° 即 ∠E'AD=45° ∴ △A E'D≌△AED ∴ DE=DE'   ∴ DE2=BD2+EC2 （2）關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立 證明：將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE   ∴ △AFD≌△ABD  ∴AF=AB， FD=DB  ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE    ∴△AFE≌△ACE    ∴ FE=EC ，∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° ∴在Rt△DFE中 DF2+FE2=DE2   即DE2=BD2+EC2