Question

【題目】如圖，是的弦，為半徑的中點，過作交弦于點，交于點，且是的切線.

(1)求證：；

(2)連接，，求；

(3)如果，，，求的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)的半徑為．

【解析】

(1)連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)等角的余角相等得到對頂角相等得到，等量代換得到即可證明.
(2)連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù),即可求解.

(3)過點作于點,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，在中, 設(shè),,則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 即，解得，求出，即可求出的半徑為．

(1)證明：如圖，連接OB

∵

∴

∵切⊙O于

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

(2)解：連接,,

∵,

∴

∵

∴

∴是等邊三角形

∴

∴

∴

(3)過點作于點

∵

∴

∵在中,

設(shè),,則

∵,

∴

又∵

∴

∴ 即

∴

∴

∴ 即的半徑為．