【題目】如圖,在△ABC 中,點OAC邊上的一個動點,過點O作直線MNBC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點E,交∠BCA的外角∠ACG平分線于點F

(1)試說明EO=FO;

(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.

(3)當點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF 是正方形?并說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2) 當點O運動到AC的中點時,理由見解析;(3) 點O運動到AC的中點時,且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時,理由見解析.

【解析】(1)由已知MN∥BC,CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以得EO=CO=FO.
(2)由(1)得出的EO=CO=FO,點O運動到AC的中點時,則由EO=CO=FO=AO,所以這時四邊形AECF是矩形.
(3)由已知和(2)得到的結(jié)論,點O運動到AC的中點時,且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時,則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直,所以四邊形AECF是正方形.

解:(1)∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,
∴EO=FO.
(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形.
∵當點O運動到AC的中點時,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四邊形AECF是矩形.
(3)當點O運動到AC的中點時,且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時,四邊形AECF是正方形.
∵由(2)知,當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形,
已知MN∥BC,當∠ACB=90°,則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四邊形AECF是正方形.
“點睛”此題考查的知識點是正方形和矩形的判定及角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是由已知得出EO=FO,然后根據(jù)(1)的結(jié)論確定(2)(3)的條件.

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3若點M4,n在該拋物線上,平移拋物線,記平移后點M的對應(yīng)點為M,點B的對應(yīng)點為B.當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形MBCD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

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