Question

（1）如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG．求證：EF=FG．
（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題,壓軸題

分析：（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對應邊AM=AE、對應角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對應邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，

AD=AB ∠ABE=∠ADG DG=BE

∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
 

AE=AG ∠EAF=∠FAG=45° AF=AF

，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；

（2）解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE BM=CE

∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=1，CN=3，
∴MN²=1²+3²，
∴MN=

10

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用．