Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=（x-m）²-m2+m的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長CA到點(diǎn)D，使AD=AC，連接BD，做AE∥x軸，DE∥y軸，
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求DE的長？
（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？
②過點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時(shí)，以A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將m=2代入原式，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，據(jù)此即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）延長EA，交y軸于點(diǎn)F，證出△AFC≌△AED，進(jìn)而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質(zhì)，求出DE=1；
（3）①根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到x=2m，y=-m²+m+1，將m=

x

2

代入y=-m²+m+1，即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答．

解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，y=（x-2）²-2，
把x=0代入y=（x-2）²-2，得：y=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．

（2）延長EA，交y軸于點(diǎn)F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵點(diǎn)A（m，-m²+m），點(diǎn)B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m²+m）=m²，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴

BF

AF

=

AE

DE

，即：

m2

|m|

=

|m|

DE

，
∴DE=1．

（3）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-m²+m），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，-m²+m+1），
∴x=2m，y=-m²+m+1，
∴y=-（

x

2

）²+

x

2

+1，
∴所求函數(shù)的解析式為：y=-

1

4

x²+

1

2

x+1，
②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，則△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)（如圖1），
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3m，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：（-m²+m+1）-m²=-2m²+m+1，
把P（3m，-2m²+m+1）的坐標(biāo)代入y=-

1

4

x²+

1

2

x+1得：
-2m²+m+1=-

1

4

×（3m）²+

1

2

×（3m）+1，
解得：m=0（此時(shí)A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=2．
（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABPD為平行四邊形時(shí)（如圖2），
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：（-m²+m+1）+m²=m+1，
把P（m，m+1）的坐標(biāo)代入y=-

1

4

x²+

1

2

x+1得：
m+1=-

1

4

m²+

1

2

m+1，
解得：m=0（此時(shí)A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=-2，
綜上所述：m的值為2或-2．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，涉及四邊形的知識(shí)，同時(shí)也是存在性問題，解答時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合及分類討論．