Question

已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線y=-x²+bx+c的頂點(diǎn)M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求：
①拋物線的解析式；
②點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長；
（2）拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，是否存在點(diǎn)M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵直線y=2x-5與x軸和y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴，B（0，-5）．
解法一：當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，∴．
∴拋物線的解析式是：．即．
解法二：當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，∴．
∵，∴b=5．
又∵，∴．
∴拋物線的解析式是：．
②∵N在直線y=2x-5上，設(shè)N（a，2a-5），又N在拋物線上，
∴．
解得 ，（舍去）
∴．
過N作NC⊥x軸，垂足為C．
∵，∴．
∴NC=4． ．
∴；


（2）∵，B（0，-5）．
∴OA=，OB=5，直線AB的解析式是：y=2x-5，
則OB=2OA，AB==，
當(dāng)OM⊥AB時(shí)，直線OM的解析式是：y=-x，
解方程組：，
解得：，
則M的坐標(biāo)是（2，-1）；
當(dāng)ON⊥AB時(shí)，N的坐標(biāo)是（2，-1），設(shè)M的坐標(biāo)是（m，2m-5）則m＞2，
∵ON=，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2）²，
解得：m=4，
則M的坐標(biāo)是M（4，3）．
故M的坐標(biāo)是：（2，-1）或（4，3）．
分析：（1）①首先求得直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的公式即可求解；
②N在直線上同時(shí)在二次函數(shù)上，因而設(shè)N的橫坐標(biāo)是a，則在兩個(gè)函數(shù)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，據(jù)此即可求得a的值，即N的坐標(biāo)，過N作NC⊥x軸，垂足為C，利用勾股定理即可求得MN的長；
（2）△AOB的三邊長可以求得OB=2OA，AB邊上的高可以求得是，拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，則MN的長度不變，根據(jù)（1）的結(jié)果是2，MN是AB邊上的高的二倍，當(dāng)OM⊥AB或ON⊥AB時(shí)，兩個(gè)三角形相似，據(jù)此即可求得M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，注意到MN是AB邊上的高的二倍，當(dāng)OM⊥AB或ON⊥AB時(shí)，兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．