Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的半圓O與直角邊BC相切于點(diǎn)F，分別交AC、AB于點(diǎn)D、E．
（1）求證：OF平分∠DOE；
（2）若CD=1，CF=，求圖中陰影部分面積的和．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵BC邊與圓O相切于點(diǎn)F，
∴BC⊥OF．
又∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，即OF平分∠DOE；

（2）解：如圖，過O作AC的垂線，設(shè)垂足為G，
∵AC⊥BC，BC⊥OF，
∴四邊形OGCF是矩形，
∵CF是切線，CDA是割線，
∴CF²=CD•CA，
∵CD=1，CF=，
∴AC=3，
∴AD=2，
∴AG=1，
∴OF=CG=2，
連接DF．易求∠CFD=∠B=30°，∠3=∠4=60°，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DFE=AC•BC-OA•ODsin60°-=×3×3-×2×2×-=-．即圖中陰影部分面積的和是-．
分析：（1）利用切線的性質(zhì)、平行線的判定定理推知AC∥OF，則∠2=∠3，∠1=∠4；又由等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可以求得∠1=∠3，即OF平分∠DOE；
（2）如圖，連接DF．利用弦切角定理、圓周角定理推知∠3=60°．則S_陰影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DFE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、扇形的面積計(jì)算．解答（2）題時(shí)，采用了“分割法”來計(jì)算圖中陰影部分的面積．