Question

如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF．連接CE、CF、BD，AC、BD的交點(diǎn)為O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列結(jié)論中：①AC=BD；②EF∥BD；③S_{四邊形AECF}=AC•EF；④EF=

25 2

7

；⑤連接FO，則FO∥AB．
正確的序號是（　�。�

A．①②④

B．①③④

C．②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：根據(jù)等腰梯形的特點(diǎn)和對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線積的一半的知識來判斷．

解答：解：①∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AC=DB，故此選項(xiàng)正確；
②∵CE⊥AB，翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
∴∠AEF=45°，EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，由△ADB≌△BCA得到∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°那么EF∥BD，故此選項(xiàng)正確；
③∵AC⊥EF，
∴S_{四邊形AECF}=

1

2

×AC•EF，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，作FM⊥AB于點(diǎn)M，
故CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴設(shè)FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴

5

2

=

x

5-x

，
解得：x=

25

7

，
那么EF=

25 2

7

，故此選項(xiàng)正確；
⑤∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，
AB=7，AE=5，
∴AO=

7 2

2

，AG=

5

2

=

5 2

2

，
∴OG=OA-AG=

7 2

2

-

5 2

2

=

2

，
FG=EF-GE=EF-AG=

25 2

7

-

5 2

2

，
易得OG≠FG，那么∠FOG≠45°，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
正確的序號是①②④．
故選：A．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的輔助線方法，對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線積的一半等知識．