【題目】已知拋物線x軸交于A,B兩點(diǎn),y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)ACBC,D是線段OB上一動點(diǎn),CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF連結(jié)BF,SOBC=8,AC=BC。

1)求拋物線的解析式;

2)求證:BFAB;

3)求FBE的度數(shù);

4)當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向移動到點(diǎn)B,點(diǎn)E也隨著移動求點(diǎn)E所走過的路線長。

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-x2+4;(2)證明見解析;(345°;(44.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為y軸,則b=0;然后利用方程與二次函數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)BC的坐標(biāo),由SOBC=8可以求得c的值;

2)由拋物線y=-x2+4x軸于點(diǎn)A、B,當(dāng)x=0,求出圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),以及y=0,求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即可得出三角形的形狀;首先證明ACD≌△BCF,利用三角形的全等,得出ABF=ABC+CBF=90°,即可得出答案;

3)如圖,連接BE,過點(diǎn)EEMx軸于點(diǎn)M.易證ODC≌△DME,則DM=OC=4,OD=EM.易求BM=EM.則MBE=MEB=45°;由(2)知,BFAB,故

FBE=FBM-MBE=45°

4)由(3)知,點(diǎn)E在定直線上,當(dāng)點(diǎn)D沿x軸正方向移動到點(diǎn)B時,點(diǎn)E所走過的路程長等于BC的長度.

試題解析:(1)如圖,AC=BC,

該拋物線的對稱軸是y軸,則b=0

C0,c),B,0).

SOBC=8,

OCOB=×c×=8,解得c=4c0).

故該拋物線的解析式為y=-x2+4;

2)證明:由(1)得到拋物線的解析式為y=-x2+4;

y=0,得x1=4,x2=-4,

A-4,0),B40),

OA=OB=OC,

∴△ABC是等腰直角三角形;

如圖,又四邊形CDEF是正方形,

AC=BC,CD=CF,ACD=BCF,

ACDBCF

∴△ACD≌△BCFSAS),

∴∠CBF=CAD=45°,

∴∠ABF=ABC+CBF=90°

BFAB;

3)如圖,連接BE,過點(diǎn)EEMx軸于點(diǎn)M

易證ODC≌△DME,則DM=OC=4,OD=EM

OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM

BM=EM

∵∠EMB=90°,

∴∠MBE=MEB=45°;

由(2)知,BFAB,

∴∠FBE=FBM-MBE=45°;

4)由(3)知,點(diǎn)E在定直線上,當(dāng)點(diǎn)D沿x軸正方向移動到點(diǎn)B時,點(diǎn)E所走過的路程長等于BC=4.

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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)在第二問的條件下,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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