【題目】
如圖①,在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖①所示,其中,DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn),連接MD,ME,MF,MG.則下列結(jié)論正確的是__________(填寫序號(hào))
①四邊形AFMG是菱形;②△DFM和△EGM都是等腰三角形;③MD=ME;④MD⊥ME.
(2)數(shù)學(xué)思考:
如圖②,在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過(guò)程.
(3)類比探究:如圖③Rt△ABC中,斜邊BC=10,AB=6,分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABD和ACE,請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng).
【答案】(1)①②③④;(2)證明見解析;(3)DE的長(zhǎng)為:或,.
【解析】
試題分析:(1)由條件可以通過(guò)三角形全等和軸對(duì)稱的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓即可得出結(jié)論;
(2)取AB、AC的中點(diǎn)F、G,連接DF,MF,EG,MG,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形,從而得出△DFM≌△MGE,根據(jù)其性質(zhì)以及各個(gè)角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論;
(3)分四種情況,①等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC外側(cè),②等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè),③等腰直角三角形ABD和ACE一個(gè)Rt△ABC外側(cè),④等腰直角三角形ABD和ACE,一個(gè)在Rt△ABC外側(cè),一個(gè)在等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)分別求出DE的長(zhǎng)度即可.
試題解析:(1)∵和是等腰直角三角形,
∵在和中,
于點(diǎn)F,于點(diǎn)G,
∴和都是等腰三角形,故②正確; ∵M是BC的中點(diǎn),∴ ∴
即在和中,故③正確;連接AM、FM、GM,如圖1所示:
M是BC的中點(diǎn),
∴四邊形AFMG是菱形,故①正確;M是BC的中點(diǎn),∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓,∵AM是對(duì)稱軸,
故④正確,故答案為:①②③④;
(2)理由如下:取AB、AC的中點(diǎn)F、G,連接DF,MF,EG,MG,如圖2所示:
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,
∵M是BC的中點(diǎn),∴四邊形AFMG是平行四邊形,
∵在和中,
,
(3)中,斜邊BC=10,AB=6,∴AC=8,和是等腰直角三角形,
分四種情況,①如圖3,和是等腰直角三角形,
∴D,A,E三點(diǎn)共線,②如圖4,和是等腰直角三角形,∴點(diǎn)A,D,E共線,③如圖5,和是等腰直角三角形,
④如圖6,和是等腰直角三角形,綜上所述:DE的長(zhǎng)為:或,.
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B.y=(x﹣2)2+3
C.y=(x+2)2﹣3
D.y=(x+2)2+3
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