Question

已知：方程x²-（2k+1）（x-2）-4=0
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊a=4，另兩邊b、c恰是這個(gè)方程的兩根，試求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：方程化為一般形式為：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）x²-（2k+1）x+4k-2=0，有（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，則2=2k-1，解得k=

3

2

，這不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，所以只能2k-1=4，解得k=

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2

，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10．
所以△ABC的周長(zhǎng)為10．