Question

如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y=過點A（-4，1），過點P是與點A不重合的雙曲線上任一動點，過點A和P分別向兩坐標軸作垂線，垂足分別為B、C和D、E．
（1）求k、S_△ADC及S_△PDC值；
（2）判斷AP和DC 的位置關系，并說明理由；
（3）若點P在雙曲線上運動時，探索以A、P、C、D四點為定點的四邊形能否成為菱形和等腰梯形？若能，請直接寫出所有滿足要求的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將點A坐標（-4，1）代入y=，得k=-4．
∴雙曲線解析式為y=-．
∴S_矩形ABCO=S_矩形PDOE=|k|=4．
又∵S_△ADC=S_矩形ABCO，S_△PDC=S_矩形PDOE，
∴S_△PDC=S_△ADC=2．

（2）AP∥DC，理由如下：
過點A、P作△ADC和△PDC公共邊DC上的高AM和PN．
∵S_△PDC=S_△ADC，
∴AM=PN，且AM∥PN，
∴四邊形AMNP是平行四邊形．
∴AP∥CD．

（3）當四邊形是菱形時，點P的坐標為（-2，2）；
當四邊形是等腰梯形時，點P的坐標為（-1，4），（1，-4）．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出k的值，得到反比例函數(shù)的解析式，利用反比例函數(shù)的幾何意義求出S_△ADC及S_△PDC值；
（2）過點A、P作△ADC和△PDC公共邊DC上的高AM和PN，根據(jù)同底的三角形面積相等其高相等，得到AM=PN，由于都垂直于DC，可得AM∥PN，得到四邊形AMNP是平行四邊形，可得AP∥CD．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=-，解答即可．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等，等腰梯形和菱形的性質(zhì)等內(nèi)容，作出輔助線是解題的關鍵．