Question

如圖，在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BE⊥PD的延長線于點(diǎn)E，連接AE、BE、FA⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)C．若AE=2，則FC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再求出∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而判斷出△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)AE的長度求出EF，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接BH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AH=EH=FH，利用“角邊角”證明△APH和△BPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EHB=45°，然后求出∠AHB=∠FHB，再利用“邊角邊”證明△ABH和△FBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=BF，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BE=DF，全等三角形對應(yīng)角相等求出∠BAH=∠BFE，然后求出∠BFE=∠ADF，根據(jù)等角的余角相等求出∠EBF=∠FDC，再利用“邊角邊”證明△BEF和△DFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FC=EF．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵FA⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BPE=∠ADF+∠APD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，BE=DF，
∵FA⊥AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

AE=2

2

，
過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接BH，
則AH=EH=FH，
∵P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在△APH和△BPE中，

∠APH=∠BPE ∠AHP=∠BEP=90° AP=BP

，
∴△APH≌△BPE（AAS），
∴BE=AH，
∴BE=EH，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠EHB=45°，
∴∠AHB=∠FHB=135°，
在△ABH和△FBH中，

AH=FH ∠AHB=∠FHB BH=BH

，
∴△ABH≌△FBH（SAS），
∴AB=BF，∠BAH=∠BFH，
∵AB=CD，
∴BF=CD，
∵∠BFH=∠BAH=∠PBE=∠ADF，
∴∠EBF=∠DAH=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，

BE=DF ∠EBF=∠FDC BF=CD

，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴FC=EF=2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形與等腰直角三角形并多次證明三角形全等．