Question

已知拋物線y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB=

5

，試求m的值；
（Ⅱ）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）讓y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出較大的根減去較小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面積時，要結(jié)合圖象，已知條件，可以發(fā)現(xiàn)S_△COM=S_△CON．而△MNC的面積等于S_△COM+S_△CON．

解答：解：（1）設(shè)點A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的兩根．
∵x₁+x₂=m，x₁•x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值為1．

（2）設(shè)M（a，b），則N（-a，-b）．
∵M、N是拋物線上的兩點，
∴

-a2+ma-m+2=b…① -a2-ma-m+2=-b…②

①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴當(dāng)m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N，
∴a=±

2-m

．
這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為

2-m

，
又∵點C坐標(biāo)為（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2×

1

2

×（2-m）×

2-m

=27，
解得m=-7．

點評：主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，以及表達圖形面積的方法．