Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直徑；

（3）在（2）的條件下，求的值；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OD，OE，求出DE＝CE，證明△ODE≌△OCE，得到∠OCE＝∠ODE＝90°即可；

（2）證明△ADC∽△ACB，得出，然后根據(jù)求出AB，由勾股定理可得答案；

（3）根據(jù)進行計算即可．

解：（1）連接OD，OE，

∵切線DE平分AC于E，

∴∠ODE＝90°，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝∠ADC＝90°，

∴在Rt△ADC中DE＝CE，

∵OE＝OE，OD＝OC，

∴△ODE≌△OCE，

∴∠OCE＝∠ODE＝90°，即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴；

（3）∵DE＝CE，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴．