Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，過D作DF⊥AC，垂足為F，連接BF交⊙O于E，求證：（1）DF是⊙O的切線；（2）BF：AF=FC：EF．

Answer 1

證明：（1）連接AD，DO，
∵AB為直徑作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直徑所對(duì)圓周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）設(shè)AC與⊙O交于一點(diǎn)G，
∵AF，F(xiàn)B都為⊙O的割線，
∴FG•FA=FE•FB，
∴=，
∵∠ABC=∠DGC，（圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴=，
即BF：AF=FC：EF．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論得出D為BC中點(diǎn)，再利用O為AB中點(diǎn)，得出DO∥AC，從而得出OD⊥DF，問題得證；
（2）首先利用切割線定理得出=，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC=∠DGC，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出FG=FC，即可證出BF：AF=FC：EF．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理的推論以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)，利用已知轉(zhuǎn)換線段等量關(guān)系，從而證明結(jié)論是證明題中常用思想，同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)的應(yīng)用．