Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P是直線AB上一動點，⊙P的半徑為1.

(1)判斷原點O與⊙P的位置關系，并說明理由；

(2)當⊙P過點B時，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

(3)當⊙P與x軸相切時，求出切點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）原點O在⊙P外 （2） （3） 或

解：(1)原點O在⊙P外．理由如下：∵直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，∴點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(0，－2)．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，∴∠OBA＝30°.如圖①，過點O作OH⊥AB于點H，在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝.∵＞1，∴原點O在⊙P外；

(2)如圖②，當⊙P過點B時，點P在y軸右側時，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，∴弧長為＝；同理：當⊙P過點B時，點P在y軸左側時，弧長同樣為.∴當⊙P過點B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為；

(3)如圖③，當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，作PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠APD＝∠ABO＝30°.在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，∴OD＝OA－AD＝2－，∴此時點D的坐標為；當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據對稱性可以求得此時切點的坐標為.綜上所述，當⊙P與x軸相切時，切點的坐標為或.

【解析】試題分析： 由直線 與軸、軸分別交于兩點，可求得點與點的坐標，繼而求得∠OBA＝30°.然后過點O作OH⊥AB于點H，利用三角函數(shù)可求得的長，繼而求得答案；

當⊙P過點B時，點P在y軸右側時，⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，則可求得弧長；同理可求得⊙P過點B時，點P在y軸左側時， ⊙P被y軸所截的劣弧的長；

首先求得⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，求出點D的坐標，然后利用對稱性可以求得當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，點D的坐標．

試題解析：(1)原點O在⊙P外．

理由如下：∵直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，

∴點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為

在Rt△OAB中，

∴∠OBA＝30°.

如圖①，過點O作OH⊥AB于點H，

在Rt△OBH中，

∴原點O在⊙P外；

(2)如圖②，當⊙P過點B時，點P在y軸右側時，

∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，

∴弧長為：

同理：當⊙P過點B時，點P在y軸左側時，弧長同樣為

∴當⊙P過點B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為

(3)如圖③，當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，作PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠APD＝∠ABO＝30°.

在Rt△DAP中，

∴此時點D的坐標為

當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據對稱性可以求得此時切點的坐標為

綜上所述，當⊙P與x軸相切時，切點的坐標為或.