Question

如圖，?ABOC的頂點(diǎn)A、B、C在二次函數(shù)y=(

7

6

-c)x2+bx+c的圖象上，又點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，∠ABO=45°．求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計算題

分析：過C作CD垂直于x軸，由四邊形ABOC為平行四邊形，得到對邊平行且相等，由兩直線平行得到一對同位角相等，再由一對直角相等，根據(jù)AAS可得出三角形ABO與三角形COD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CD=AO，令拋物線解析式中x=0，求出對應(yīng)的y值，表示出A的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出OA的長，由∠ABO=45°，∠AOB=90°，得到三角形ABO為等腰直角三角形，可得出AO=BO，得出B的坐標(biāo)，由三角形CDO也為等腰直角三角形，可得出OD=CD=OA，由OA的長得出OD及CD的長，表示出C的坐標(biāo)，將表示出的C及B的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，并根據(jù)c不為0化簡后，得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，即可確定出拋物線的解析式．

解答：解：過C作CD⊥x軸，

∵四邊形ABOC為平行四邊形，
∴AB=CO，AB∥CO，
∴∠ABO=∠COD，
在△ABO與△COD中，

∠AOB=∠CDO=90° ∠ABO=∠COD AB=CO

，
∴△ABO≌△COD（AAS），
∴AO=CD，
令y=（

7

6

-c）x²+bx+c中x=0，解得：y=c，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，c），AO=c（c＞0），
∵∠ABO=45°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，即△AOB為等腰直角三角形，
∴BO=AO=c，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-c，0），
又△COD為等腰直角三角形，
∴CD=OD，
∵AC∥BO，AC=BO=c，又CD=AO，
∴CD=OD=c，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，c），
將B和C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：

( 7 6 -c)c2-bc+c=0  ( 7 6 -c)c2+bc+c=c

，
由c≠0，化簡得：

( 7 6 -c)c-b+1=0① ( 7 6 -c)c+b=0②

，
由②得：（

7

6

-c）c=-b③，
將③代入①得：-b-b+1=0，即2b=1，
解得：b=

1

2

，
將b=

1

2

代入③得：（

7

6

-c）c=-

1

2

，
整理得：6c²-7c-3=0，即（2c-3）（3c+1）=0，
解得：c=

3

2

或c=-

1

3

（點(diǎn)C在第一象限，故不合題意舍去），
∴

b= 1 2 c= 3 2

，
則拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

1

2

x+

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)題意表示出B及C的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．