【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4),與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC,連接AC,CD.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)E是拋物線上的點(diǎn),求滿足∠ECD=∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線BC上,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),若以點(diǎn)C,M,N,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求菱形的邊長(zhǎng).

【答案】(1)y=x2+x+4;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,),(3,);(3)菱形的邊長(zhǎng)為44.

【解析】

試題分析:(1)把點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4)代入y=ax2+bx+c,用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可.(2)分點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上和點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上兩種情況,用三角函數(shù)求解即可;(3)分CM為菱形的邊和CM為菱形的對(duì)角線兩種情況,用菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

試題解析:(1)拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x4),

∴﹣8a=4,

a=,

拋物線解析式為y=(x+2)(x4)=x2+x+4;

(2)如圖1,

點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上,記E

連接CE,過E作EF′⊥CD,垂足為F,

由(1)知,OC=4,

∵∠ACO=ECF

tanACO=tanECF,

=,

設(shè)線段EF=h,則CF=2h,

點(diǎn)E(2h,h+4)

點(diǎn)E在拋物線上,

∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,

h=0(舍)h=

E(1,),

點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上,記E,

的方法得,E(3,),

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,),(3,

(3)CM為菱形的邊,如圖2,

在第一象限內(nèi)取點(diǎn)P,過點(diǎn)

P作PN′∥y軸,交BC于N,過點(diǎn)P作PM′∥BC,

交y軸于M,

四邊形CMPN是平行四邊形,

四邊形CMPN是菱形,

PM=PN,

過點(diǎn)P作PQ′⊥y軸,垂足為Q,

OC=OB,BOC=90°,

∴∠OCB=45°,

∴∠PMC=45°,

設(shè)點(diǎn)P(m,m2+m+4),

在RtPMQ中,PQ=m,PM=m,

B(4,0),C(0,4),

直線BC的解析式為y=x+4,

PN′∥y軸,

N(m,m+4),

PN=m2+m+4m+4)=m2+2m,

m=m2+2m,

m=0(舍)或m=42

菱形CMPN的邊長(zhǎng)為(42)=44.

CM為菱形的對(duì)角線,如圖3,

在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PMBC,

交y軸于點(diǎn)M,連接CP,過點(diǎn)M作MNCP,交BC于N,

四邊形CPMN是平行四邊形,連接PN交CM于點(diǎn)Q,

四邊形CPMN是菱形,

PQCM,PCQ=NCQ,

∵∠OCB=45°,

∴∠NCQ=45°,

∴∠PCQ=45°,

∴∠CPQ=PCQ=45°,

PQ=CQ,

設(shè)點(diǎn)P(n,n2+n+4),

CQ=n,OQ=n+2,

n+4=n2+n+4,

n=0(舍),

此種情況不存在.

菱形的邊長(zhǎng)為44.

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(2)將ABC沿x軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后,再沿x軸翻折得到DEF,畫出DEF;

(3)點(diǎn)P(m,n)是ABC的邊上的一點(diǎn),經(jīng)過(2)中的變化后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

①連接PO,交AC于點(diǎn)E,求的最大值;

②過點(diǎn)PPFAC,垂足為點(diǎn)F連接PC,是否存在點(diǎn)P,使△PFC中的一個(gè)角等于∠CAB2倍?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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