Question

如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，
（1）求證：BE⊥EF；
（2）若AB=6，AE=9，DE=2，求sin∠EBF的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠AEB=∠DFE；證明∠AEB+∠DEF=90°，得到∠BEF=90°，即可解決問題．
（2）求出DF的長度；求出EF、BF的長度，即可解決問題．

解答：（1）證明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠AEB=∠DFE；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠BEF=90°，
即BE⊥EF．
（2）解：∵AB=6，AE=9，DE=2，
∴DC=AB=6，BC=AD=AE+DE=11；
∵△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，
∴DF=3，CF=6-3=3；
由勾股定理得：EF²=2²+3²，BF²=11²+3²，
∴EF=

13

，BF=

130

，
∴sin∠EBF=

EF

BF

=

10

10

，
即sin∠EBF的值為

10

10

．

點評：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的應用問題；應牢固掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點，這是靈活運用的基礎．