Question

已知拋物線y=

1

2

x2-4x+6，經(jīng)過C（7，m），交y軸于點A，交X軸于B、M兩點（B在左），D為拋物線的頂點．

（1）求D點坐標及直線AC的解析式．
（2）E為拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關于D對稱，求證：△ACF的內(nèi)心在EF上．
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定A點坐標與C點坐標，再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式，然后把拋物線配成頂點式得到頂點D的坐標和對稱軸方程；
（2）先求出對稱軸與直線AC的交點E的坐標，再利用對稱確定F點的坐標，然后利用待定系數(shù)法可求出直線AF的解析式為y=-

7

2

x+6，直線CF的解析式為y=

7

2

x-22，再分別求出它們與x軸的交點坐標，則可判斷這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，于是得到直線FE平分∠AFC，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得到△ACF的內(nèi)心在EF上；
（3）先計算出AF=2

53

，DF=6，F(xiàn)C=

3 53

2

，利用（2）中的結(jié)論可得到∠FAO=∠DFC，根據(jù)三角形相似的判定方法得到當AP：FD=AF：FC時，△AFP∽△FCD；當AP：FC=AF：FD時，△AFP∽△FDC，則可分別計算出AP的長，然后確定P點坐標．

解答：（1）解：把x=0代入y=

1

2

x²-4x+6得y=6，則點A點坐標為（0，6），
把C（7，m）代入y=

1

2

x²-4x+6得m=

5

2

，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，6）和C（7，

5

2

）代入得

b=7 7k+b= 7 2

，
解得

k=- 1 2 b=7

，
所以直線AC的解析式為y=-

1

2

x+6；
y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x-4）²-2，
所以D點坐標為（4，-2）；

（2）證明：拋物線的對稱軸為直線x=4，
把x=4代入y=-

1

2

x+6得y=-

1

2

×4+6=4，
所以E點坐標為（4，4），
因為F與E關于D（4，-2）對稱，
所以F點坐標為（4，-8），
直線AF的解析式為y=-

7

2

x+6，它與x軸的交點坐標為（

12

7

，0），
直線CF的解析式為y=

7

2

x-22，它與x軸的交點坐標為（

44

7

，0），
因為點（

12

7

，0）和點（

44

7

，0）關于直線x=4對稱，
所以直線FE平分∠AFC，
所以△ACF的內(nèi)心在EF上；

（3）解：存在．理由如下：
AF=2

53

，DF=6，F(xiàn)C=

3 53

2

，
因為∠AFE=∠CFE，
而∠AFE=∠FAO，
∴∠FAO=∠DFC，
所以當AP：FD=AF：FC時，△AFP∽△FCD，
即AP：6=2

53

：

3 53

2

，解得AP=8，
所以P點坐標為（0，-2）；
當AP：FC=AF：FD時，△AFP∽△FDC，
即AP：

3 53

2

=2

53

：6，解得AP=

53

2

，
所以P點坐標為（0，-

41

2

），
所以滿足條件的P點坐標為（0，-2）或（0，-

41

2

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線頂點坐標與對稱軸，再利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，然后運用三角形內(nèi)心的定義和三角形相似的判定與性質(zhì)進行幾何計算．