Question

如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OC=4，∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖（1）中，P為直徑BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求證：PC為⊙O的切線.
（3）如圖（2），一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng).

Answer 1

（1）60°; （2）證明見(jiàn)解析; （3）或或或.

試題分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半徑知，△AOC是等腰三角形，然后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)求得∠AOC =60°；
（2）由求出PA的長(zhǎng)，從而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可得∠PCO=90⁰，進(jìn)而證得結(jié)論;
（3）如圖，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種:①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁,②過(guò)點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，③過(guò)點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧AM的長(zhǎng)．
試題解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半徑），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等邊對(duì)等角）.
又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等邊三角形. ∴∠AOC=60°.
（2）如圖,作PA邊上的高CE,
∵△AOC是等邊三角形, OC=4，∴CE=.
∵，∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=90⁰.
又∵OC是⊙O的半徑，∴PC為⊙O的切線.

（3）如圖，
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁．
此時(shí)S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°.∴弧AM₁=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₁時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
②過(guò)點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，
此時(shí)S_△M2AO=S_△CAO．∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°.∴弧AM₂=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₂時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為．
③過(guò)點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，
此時(shí)S_△M3AO=S_△CAO, ∴∠BOM₃=60°.∴弧AM₃=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₃時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.