Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)線段是否始終是EF？寫出觀察結(jié)果．
（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明．

Answer 1

解：（1）觀察結(jié)果是：當(dāng)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)線段始終是EF．

（2）AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．
證明如下：
在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，連接EG、FG
又∵CE=CE
則△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠EGF=90°
∴AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．
分析：（1）在E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，AE，EF，F(xiàn)B中最長(zhǎng)線斷始終是EF；
（2）如圖，在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，連接EG、FG，構(gòu)建全等三角形△ACE≌△GCE；然后利用該全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得∠1=∠A．同理：△CGF≌△CBF，∠2=∠B；最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等量代換即可證得“AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形”．
點(diǎn)評(píng)：此題是開放性試題，利用等腰直角三角形的性質(zhì)來(lái)探究圖形變換的規(guī)律，最后利用旋轉(zhuǎn)法證明探究的規(guī)律．