Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I為△ABC的角的平分線交點(diǎn)，延長(zhǎng)AI分別交⊙O、BC于D、E兩點(diǎn)．
（1）求證：DI=DB；
（2）試判斷△ABC為什么三角形時(shí)，四邊形BDCI為菱形？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接BI，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的定義求出∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠DBC，求出∠DIB=∠IBD即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，求出O和I重合，求出△BID和△DIC是等邊三角形，得出IB=BD=DC=IC，根據(jù)菱形的判定得出即可．

解答：（1）證明：連接BI，
∵I是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠DBC，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠DBC，
∴∠DIB=∠IBD，
∴DI=DB；

（2）解：當(dāng)△ABC時(shí)等邊三角形時(shí)，四邊形BDCI為菱形，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∵⊙O和⊙I是等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓，
∴O和I重合，
∴由（1）知：BD=DI（即BD=DO），
∴△BID是等邊三角形，
同理△DIC是等邊三角形，
∴IB=BD=DC=IC，
∴四邊形BDCI是菱形
即△ABC為等邊三角形時(shí)，四邊形BDCI為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓，三角形外角性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目有一定的難度．