【題目】已知:在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足為H,連接BC,過點(diǎn)DDEBC于點(diǎn)E,DEAC于點(diǎn)F

1)如圖1,求證:BD平分∠ADF;

2)如圖2,連接OC,若ACBC,求證:OC平分∠ACB;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接AB,過點(diǎn)DDNAC交⊙O于點(diǎn)N,若AB3,DN9.求sinADB的值.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3sinADB的值為

【解析】

(1)根據(jù)等角的余角相等即可證明;

(2)連接OA、OB.只要證明△OCB≌△OCA即可解決問題;

(3)如圖3中,連接BN,過點(diǎn)OOPBD于點(diǎn)P,過點(diǎn)OOQAC于點(diǎn)Q,則四邊形OPHQ是矩形,可知BN是直徑,則HQ=OP=DN=,設(shè)AH=x,則AQ=x+,AC=2AQ=2x+9BC=2x+9,CH=ACAH=2x+9x=x+9,在RtAHB中,BH2=AB2AH2=()2x2.在RtBCH中,BC2=BH2+CH2即(2x+9)2=()2x2+(x+9)2,解得 x=3,BC=2x+9=15,CH=x+9=12求出sinBCH,即為sinADB的值.

(1)證明:如圖1,

ACBD,DEBC

∴∠AHD=∠BED=90°,

∴∠DAH+ADH=90°,∠DBE+BDE=90°,

∵∠DAC=∠DBC

∴∠ADH=∠BDE

BD平分∠ADF;

(2)證明:連接OA、OB

OB=OC=OAAC=BC,

∴△OCB≌△OCA(SSS),

∴∠OCB=∠OCA,

OC平分∠ACB;

(3)如圖3中,連接BN,過點(diǎn)OOPBD于點(diǎn)P,過點(diǎn)OOQAC于點(diǎn)Q

則四邊形OPHQ是矩形,

DNAC,

∴∠BDN=∠BHC=90°,

BN是直徑,

OP=DN=,

HQ=OP=

設(shè)AH=x,則AQ=x+AC=2AQ=2x+9,BC=AC=2x+9,

CH=ACAH=2x+9x=x+9

RtAHB中,BH2=AB2AH2=()2x2

RtBCH中,BC2=BH2+CH2,

即(2x+9)2=()2x2+(x+9)2

整理得2x2+9x45=0,

(x3)(2x+15)=0,

解得: x=3(負(fù)值舍去),

BC=2x+9=15,CH=x+9=12

∵∠ADB=∠BCH

sinADB=sinBCH===

sinADB的值為

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,拋物線yax2+bxa0)過點(diǎn)E8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),點(diǎn)C、D在拋物線上,∠BAD的平分線AMBC于點(diǎn)M,點(diǎn)NCD的中點(diǎn),已知OA2,且OAAD13.

1)求拋物線的解析式;

2F、G分別為x軸,y軸上的動點(diǎn),順次連接MN、GF構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最小值;

3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ODPOD邊上的高為?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

4)矩形ABCD不動,將拋物線向右平移,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點(diǎn)K、L,且直線KL平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.

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【題目】矩形ABCD中,AB=10AD=4,點(diǎn)PCD上的動點(diǎn),當(dāng)∠APB=90°時,DP的長是(

A.2B.6C.26D.28

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【題目】正方形按如圖所示的方式放置,點(diǎn).. 分別在直線x軸上,已知點(diǎn),則Bn的坐標(biāo)是____________

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【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AGBC于點(diǎn)G,AFDE于點(diǎn)F,EAF=GAC.

(1)求證:ADE∽△ABC;

(2)若AD=3,AB=5,求的值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,形狀相同的拋物線的頂點(diǎn)在直線上,其對稱軸與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為2,3,518,13,根據(jù)上述規(guī)律,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_________

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【題目】如圖,∠1=∠2,要使ABC∽△ADE,只需要添加一個條件即可,這個條件不可能是( 。

A.B=∠DB.C=∠EC.D.

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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,ABBC,點(diǎn)E為對角線AC上的一個動點(diǎn),連接BEDE,過EEFBCF.設(shè)AEx,圖1中某條線段的長為y,若表示yx的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這條線段可能是圖1中的(  )

A.線段BEB.線段EFC.線段CED.線段DE

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【題目】定義:(一)如果兩個函數(shù)y1y2,存在x取同一個值,使得y1y2,那么稱y1,y2為“合作函數(shù)”,稱對應(yīng)x的值為y1,y2的“合作點(diǎn)”;

(二)如果兩個函數(shù)為y1,y2為“合作函數(shù)”,那么y1+y2的最大值稱為y1,y2的“共贏值”.

1)判斷函數(shù)yx+2my是否為“合作函數(shù)”,如果是,請求出m1時它們的合作點(diǎn);如果不是,請說明理由;

2)判斷函數(shù)yx+2my3x1|x|2)是否為“合作函數(shù)”,如果是,請求出合作點(diǎn);如果不是,請說明理由;

3)已知函數(shù)yx+2myx2﹣(2m+1x+m2+4m3)(0x5)是“合作函數(shù)”,且有唯一合作點(diǎn).

求出m的取值范圍;

若它們的“共贏值”為24,試求出m的值.

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