Question

已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F，得到△DEF為等邊三角形．求證：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC為等邊三角形．

Answer 1

證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等邊三角形（已知），
∴EF=DE（等邊三角形的性質）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對應角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），
△DEF是等邊三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質），
∴∠BCA=60°（等量代換），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角對等邊）．
∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．
分析：（1）關鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結合已知條件可證出△AEF≌△CDE．
（2）有（1）中的全等關系，可得出∠AFE=∠CED，再結合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．
點評：本題利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性質，還有三角形的外角等不相鄰的兩個內角之和，等邊三角形的判定（三個角都是60°，那么就是等邊三角形）．