【題目】已知,如圖(1),PAB為⊙O的割線,直線PC與⊙O有公共點C,且PC2=PA×PB,

(1)求證:∠PCA=∠PBC;直線PC是⊙O的切線;
(2)如圖(2),作弦CD,使CD⊥AB,連接AD、BC,若AD=2,BC=6,求⊙O的半徑;

(3)如圖(3),若⊙O的半徑為 ,PO= ,MO=2,∠POM=90°,⊙O上是否存在一點Q,使得PQ+ QM有最小值?若存在,請求出這個最小值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)

證明:∵PC2=PA×PB,

,

∵∠CPA=∠BPC,

∴△PCA∽△PBC,

∴∠PCA=∠PBC,

作直徑CF,連接AF,則∠CAF=90°,

∴∠F+∠FCA=90°,

∵∠F=∠B,∠PCA=∠PBC,

∴∠PCA+∠FCA=90°,

∵PC經(jīng)過直徑的一端點C,

∴直線PC是⊙O的切線


(2)

解:作直徑BE,連接CE、AE.則∠BCE=∠BAE=90°,

∵CD⊥AB,

∴AE∥CD,

= ,

∴AD=CE=2,

∵BC=6,

∴在Rt△BCE中,由勾股定理得:

BE2=CE2+BC2=22+62=40,

∴BE=2 ,

∴R=


(3)

解:取OM中點G,連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q,

連接QO、QM,

∵MO=2,

∴OG= OM=1,

∵⊙O的半徑r=OQ= ,

∴OQ2=OGOM,

∵∠MOQ=∠QOG,

∴△MOQ∽△QOG,

=

∴QG= QM,

∴PQ+ QM=PQ+QG=PG,

根據(jù)兩點之間線段最短,

此時PQ+ QM=PQ+QG=PG最小,

∴PQ+ QM最小值為PG= = =


【解析】(1)根據(jù)已知條件得到 ,推出△PCA∽△PBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PCA=∠PBC,作直徑CF,連接AF,則∠CAF=90°,得到∠PCA+∠FCA=90°,P過直徑的一端點C,于是得到結(jié)論;(2)作直徑BE,連接CE、AE.則∠BCE=∠BAE=90°,推出AE∥CD,得到 = ,根據(jù)勾股定理得到BE=2 ,于是得到結(jié)論;(3)取OM中點G,連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q,連接QO、QM,得到OG= OM=1,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = ,求得QG= QM,根據(jù)兩點之間線段最短,即可得到結(jié)論.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交AB于點E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時,請求出點Q的坐標(biāo).

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(1)若AC所在直線的函數(shù)表達式是y=2x+4.
①求AC的長;
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(1)b= , c= , 點B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時,求出點P的坐標(biāo).

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